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数学と芸術と日々思ったことを書いていきます、雑食。

1+1=2について(その2)

注意

最初に断っておこうと思いますが、これは私の一考えであり数学において正しさが保障されていないものがあります。間違っていることを言っているということではなく、私の解釈で理解していることを書きます。

何かありましたら感想などにお願いします。

 

 

 

というわけでして、その2を書きます。本当は二日連続であげるつもりだったんですが、なんやかんやありましてまあ一週間以内にあげればよかろうというところにひと段落した次第です。では続きが始まります。

(書いてるテンションがその1とかなり違うので文体が変わるかもしれませんが、ご容赦ください) 

1や足し算の意味を考えてみた

何に1の意味を求めればいいのかということでしたが、まずはお聞きしたいことがあります。

『1個』や『1匹』、『1cm』とかと数字の『1』の違いって分かりますか?

これってたぶん答えられる方、ほとんどいないと思うんですよね。

これの答え(あくまで私の解釈としての)は

 

1はすべての単体の物理量の集合の同一視です。

 

物理量???同一視???という方がいるかと思うんですが、そこはググれとは言わずにここでお話しします。

物理量というのは簡単に言うと、単位のこと。(授業とかのじゃないよ)

りんご1個の『個』とか、1cmの『cm』とかですね。

でもここではもっと細かく見て、りんご1個なら『りんご  個』、みかん1個なら『みかん 個』を物理量と思います。(これはこのあと役に立ちます)

 

同一視というのは、すべて同じものとみなすということです。これは数学でよくやります。例えば、2で割ったあまりでまとめると偶数と奇数に分かれます。これは2で割ったあまりで同一視してるわけですね。

 

イメージ図(またも手書きで申し訳ありません)

 

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上で使われている記号は三角形の合同条件の時に使った『合同』のようなものです。

ちなみに集合の要素が一つだけの集合のことを英語でシングルトンっていうんですけど、可愛くないですか!!

 

足し算を意味的に考える

 

1の説明が終わったと思います。では足し算の意味行きたいと思います。

 

 足し算の前にまずは、2という数字を作りましょう。2は1と同様に2つの物の物理量の同一視したものです。やや冗長かもしれませんが、イメージ図を。

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これで2が作れましたね。

 

それでは今作った2と1にはどういう関係がありますか?

(勝手ながら私は人は関係や名前をつけたがる生物だと思っております)

1が2個あったら、2になりませんか?正確に言うと、りんご1個の集合が2個あったら2と思いますよね?この関係を足し算としよう!ということなのです。

(何度も書きますがこれは私が考えたことであり、数学的な正しさとは別です。数学のお話が知りたい方は順序数とかでググりましょう) 

文章で書いてあるとわからない方もいると思うので絵で書いてみると…

 

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こういう感じですね。

 このような関係で定義した足し算には二つのルールがあります。

  1. 足すものは同じ物理量のもの
  2. 物理量は変化しない

です。一つずつ説明していきたいと思います。

 

ルール1

なんとなく分かると思いますが、要は違う物理量のものは足せないよということです。

りんご1個とみかん1個は『りんご 個』と『みかん 個』が物理量になるので足せないです、ということです。(ここで単位を種類でも分けることにしたことが役に立つのです)

 

ルール2

これはどういうことかピンとこない方がいると思うので、具体例から見ていきましょう。

例その1 )

先生「みかん1個とみかん1個、足したら2個ですね」

A君「先生!みかんの中には身が7個あります!なのになんで2個なんですか?」

先生「A君、あのね…」(呆れた感じ)

 

これ、昔のドラマでチームナックスヤスケンが教師役で出てたドラマがあったのですがそこでこういうことがありました。(最初の情報は余談です)

よくある質問だと思います。ここで何が問題になっているかというと、物理量が『みかん 個』から『みかんの身 個』に変化してるのです。なので、『みかん』というものを変化させずに1つのものとして扱わないといけないということです。

なので、足すときに物理量を変化させてはいけないということです。

 ちなみに、定義した、ルール付けしたものがちゃんといい振る舞いをすることを数学では『well-definedである』*1と言います。

 

 

まとめ

 どうでしたでしょうか?私の1+1=2についての考えは受け入れられたでしょうか?

実は話の中で数詞と数をちゃんと説明してないのでよくないなあと思いながらも区別はちゃんとしてたので大丈夫かなと思います。実は私たちは無意識的にここら辺の区別をしてるのです。しかし、これを意識的にできる人は限られていて。1+1=2の理由にただ『りんご1個とりんご1個を足したら2個でしょ!』というだけでは数詞と数の区別をちゃんとできていないので答えられていないとおもっています。ここらへんは難しい問題でもあるんですよね…

また、人はりんご1個があった時に、りんごの性質を見てしまう傾向にあります。つまり、赤いのか青いのか、大きいのか小さいのかみたいなところです。ここではただ、そぼくに『りんご』というものが1個あるということに触れたいのにその性質が邪魔をするんですね。この必要な性質だけ抜き出して、他の性質については触れないというのもなかなかちゃんとできる人はいないなあと。少なくとも私はたまに間違えますし。

実はこういった認知とか言語的問題も含んでて(実はそっちの方が大きく絡んでます)、その問題と実は自然数全体の集合を作るときの話とは違う話なんだなあというのがわかっていただけたらなと思います。

 

それではその1から続いた長文でしたが、ご一読ありがとうございました。

 

*1:ルールの中で矛盾が生じてたりや、少し条件が変わっただけでダメになってたらいい振る舞いとは言えないのです。